Начальное музыкальное образование получил в ДМШ № 3 г. Куйбышева (класс преподавателя М.С. Манькович).
Закончил ЦССМШ при Московской консерватории им. П.И. Чайковского по классу фортепиано К. А. Шашкиной. Продолжил своё обучение на Факультете Исторического и Современного Исполнительского Искусства МГК, которую закончил по специальностям фортепиано, клавесин, историческое фортепиано (класс профессора Ю.В. Мартынова) и орган (класс профессора А. А. Паршина).
Принимал участие в мастер-классах выдающихся зарубежных исполнителей: Мартина Хазельбека, Андреа Маркона, Кристофера Стембриджа, Малькольма Билсона, Андреаса Штайера, Барта ван Оорта, Тома Бегина, Артура Схондервуда и Клер Шевалье.
В 2001 году Алексей Шевченко становится лауреатом Первой премии Международного конкурса органистов в Италии «Marcello Galanti».
Ещё, будучи студентом МГК, молодой музыкант начал активную концертную деятельность как органист, пианист и как исполнитель на исторических клавишных инструментах: клавесине, молоточковом клавире, романтическом фортепиано и клавикорде. Алексей Шевченко неоднократно принимал участие в крупных международных фестивалях: «Молодые звезды России и Америки» (1994 год, Самара), «Альтернатива» (1999 год, Москва),
«К столетию органа Большого зала консерватории» (2001 год, Москва), «Московская осень» (2003 год, Москва), Моцартовский фестиваль в Москве (2006), Международный фестиваль старинной музыки "Earlymusic-festival" (2005-2007, Санкт-Петербург), Международный фестиваль духовной музыки «Адвент» (2014 – 2015), Международный фестиваль «Музыкальное приношение И.С. Баху» (2016), «Органные вечера в Кусково» (2011 – 2016), «Vox Venetia Nordica» (2016), Международный фестиваль классической музыки Малого зала Санкт – Петербургской филармонии (2015). На фестивале органной и камерной музыки «Северный Орфей» в Кирове был удостоен диплома «За высокое исполнительское мастерство».
В клавирном дуэте с Марией Успенской принимал участие в международных фестивалях: Oudemusik в Утрехте (Нидерланды, 2003), старинной музыки в Шопроне (Венгрия, 2005) и Таллине (Эстония, 2007).
В 2000 году в юбилейном цикле концертов Московской консерватории, посвященных 250-летию со дня смерти И.С.Баха, совместно с А.Любимовым, Ю.Мартыновым, Н. Кожухарём, А. Решетиным и другими известными российскими музыкантами участвовал в исполнении всех его инструментальных концертов. В 2005 году А.Шевченко дебютировал в качестве солиста с Российским Национальным Оркестром. В 2005-2007 активно сотрудничал с «Оркестром Екатерины Великой». В 2005-2006 был приглашен выступить в концертных абонементах Алексея Любимова «От сыновей Баха до Бетховена» и Юрия Мартынова («Все симфонии Бетховена в фортепианных транскрипциях Листа»). Также принимал участие в постановке оперы И. Маттезона «Борис Годунов» (1710), состоявшейся в 2007 году в Москве, Санкт - Петербурге и Гамбурге. С 2006 А.Шевченко активно сотрудничает с капеллой «Золотой век» под руководством Александра Листратова.
Алексея Шевченко регулярно выступает в лучших залах страны, таких как Малый и Рахманиновский залы Московской консерватории, Большой и Малый залы Санкт-Петербургской филармонии, камерных залах Московской филармонии и Московского международного дома музыки, а также в Европе, Киргизии, Белоруссии, на Украине и Ближнем Востоке (Ливан, Сирия, Иордания), в Китае.
Среди камерных партнёров Алексея Шевченко – Мария Успенская (клавесин, хаммерклавир, фортепиано), Александр Листратов (барочная виолончель), Рустик Позюмский (виола да гамба), Бенедек Чалог (траверс – флейта, Венгрия), Игорь Лисов (траверс – флейта), Александр Кискачи (исторические флейты), Андрей Решетин (барочная скрипка), Фатима Лафишева (барочная скрипка), Дмитрий Синьковский (барочная скрипка), Назар Кожухарь (барочная скрипка), Витторио Гиельми (виола да гамба, Италия)), Майкл Чанс (контр – тенор, Великобритания), Давид Фиор (тенор, Италия), Джованни Гуэрини (баритон, Италия), Марко Пьеробон (труба, Италия).
В 2015 году в дуэте с Александром Листратовым (виолончель) получил гран-при на международном конкурсе камерных ансамблей в Санкт – Петербурге.
В 2015 году проводились клавесинные мастерклассы Алексея Шевченко в Российской академии музыки им. Гнесиных и фортепианные мастерклассы в Шанхайском музыкально-педагогическом университете.
С 2003 года Алексей Шевченко преподает старинные клавишные инструменты и камерный ансамбль на Факультете исторического и современного исполнительского искусства Московской государственной консерватории имени П.И. Чайковского. Студенты Алексея Шевченко неоднократно становились лауреатами престижных международных конкурсов.
С сентября 2016 года А.Шевченко также приглашён преподавать орган и клавесин в Российской академии музыки им. Гнесиных.